Swissuniversities (https://www.swissuniversities.ch)

Ondřej Kreml (Matematický ústav AV ČR, v. v. i)

95 338,57 CHF

University of Zürich
Institut für Mathematik

Chiodaroli, E.; De Lellis, C.; Kreml, O.: Global ill-posedness of the isentropic system of gas dynamics. Comm. Pure Appl. Math. 68 (2015), no. 7, 1157–1190.
Chiodaroli, E.; Feireisl, E.; Kreml, O.: On the weak solutions to the equations of a compressible heat conducting gas. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 32 (2015), no. 1, 225–243.
Chiodaroli, E.; Kreml, O.: On the Energy Dissipation Rate of Solutions to the Compressible Isentropic Euler System. Arch. Rational Mech. Anal. 214 (2014), 1019–1049.

Jednoduchý model hromadné dopravy je určen rovnicí kontinuity

∂r/∂t + div(ru) = 0 (1)

kde r znamená měrnou hmotnost a u je rychlostní pole. V jednoduchých modelech, jako je model dopravního toku, rychlost sama je funkcí hustoty r; proto (1) se redukuje na zákon zachování skaláru. V hydrodynamice je rychlostní pole spojeno s u a ostatními poli pomocí rovnováhy hybnosti a/nebo jinými rovnicemi. Napsáním ∂r/∂t + div(ru) = ∂r/∂t + u • r + r div(u) uvádíme, že první dva výrazy představují pohyb podél tzv. charakteristického pole – řešení systému běžných diferenciálních rovnic

dX(t)/dt = u(t, X(t)) (2)

Hlavní obtíž pak vzniká ze skutečnosti, že při mnoha použitích rychlostní pole u nemá či se neví, zda má, dostatečnou pravidelnost pro X, aby bylo jednoznačně určeno z hlediska počátečních údajů.

Ve svých vlivných pracích [11] DiPerna a Lions navrhli nový přístup k (2) řešením související dopravní rovnice (1). Velmi důležitým bodem této teorie však je ohraničenost div(u), která zajišťuje jednotné a priori hranice hustoty z hlediska počátečních údajů. DiPerna a Lions také zavedli koncepci renormalizovaného řešení rovnice (1), které později využil Lions [12] ve své existenční teorii pro barotropický Navier-Stokesův systém.

Další důležitý krok ve vývoji této teorie učinil Ambrosio [1], který rozšířil DiPerna-Lionsovu teorii na BV rychlostní pole, přičemž div(u) patří k L^1_{loc} (viz také [2] a [4]). I přes všeobecnost tohoto výsledku vyžadují některé aplikace, zvláště v teorii zákonů zachování a jejich linearizacích, pouze to, aby jednostranná Lipschitzova podmínka byla uvalena na u, zvláště div(u) může být ohraničeno shora, ale není všeobecně integrovatelné, viz [7].